Résultats
#1. Si les termes d’une suite `U_n` appartiennent à l’intervalle [a , b] à partir d’un certain rang, qu’est-ce que cela signifie ?
Si les termes de la suite appartiennent à l’intervalle [a,b] à partir d’un certain rang, cela signifie que, au-delà de ce rang, tous les termes sont compris entre a et b. Avant ce rang, certains termes peuvent dépasser b.
#2. Une suite qui converge vers zéro est bornée.
Une suite qui converge vers 0 reste dans un intervalle autour de 0 à partir d’un certain rang, donc elle est bornée.
#3. (Hors programme) La suite de Fibonacci peut être définie de manière explicite.
La suite de Fibonacci admet une formule explicite appelée formule de Binet : `Un=(varphi^n – (-varphi)^(-n))/(√5)`, où `varphi=(1+√5)/2` est le nombre d’or. Cette formule permet de calculer directement le n-ième terme sans utiliser la relation de récurrence.
#4. Laquelle de ces affirmations est FAUSSE concernant les suites bornées ?
Il est faux de dire que toutes les suites monotones sont bornées. Par exemple, la suite Un = n (la suite des entiers naturels) est croissante mais non bornée, car ses termes augmentent sans limite.
#5. La limite d’une suite décroissante est toujours le plus petit terme de la suite.
La limite d’une suite décroissante, si elle existe, est le plus grand minorant de la suite, pas forcément un terme de la suite elle-même. Par exemple, la suite `U_n=1/n` est décroissante et tend vers 0, mais 0 n’est jamais un terme de la suite.
#6. Le théorème de convergence monotone peut être utilisé pour prouver la convergence de la suite de Fibonacci.
La suite de Fibonacci est croissante mais non majorée, donc le théorème de convergence monotone ne s’applique pas. En fait, cette suite diverge vers plus l’infini.
#7. Une suite croissante est toujours minorée.
Une suite croissante est toujours minorée, car elle possède un premier terme qui peut servir de minorant.
#8. Toute suite décroissante est majorée.
Une suite décroissante est toujours majorée, car son premier terme peut servir de majorant.
#9. La limite d’une suite convergente peut-elle être plus grande qu’un majorant de la suite ?
La limite L ne peut pas dépasser un majorant M de la suite. On applique le théorème de comparaison à `U_n<=V_n`, avec `V_n=M` (suite constante), on obtient `L<=M`.
#10. Une suite qui diverge vers plus l’infini ne peut pas être minorée.
Une suite qui diverge vers plus l’infini peut être minorée. Exemple : `U_n=n^2` est minorée par 0.
Laisser un commentaire