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#1. Quelle est la dérivée de `f(x) = a^x` ?
La dérivée d’une fonction exponentielle à base a est le produit de la fonction par le logarithme naturel de la base.
#2. Donnez l’exemple d’une fonction ayant un point d’inflexion.
La fonction `f(x) = x^3` a un point d’inflexion en x=0.
#3. Comment utiliser la dérivée pour déterminer les intervalles où une fonction est concave ?
La dérivée seconde `f^’text()^'(x)` nous renseigne sur la convexité d’une fonction: si `f^’text()^'(x) > 0`, la fonction est convexe; si `f^’text()^'(x) < 0`, elle est concave.
#4. Si `f(x)=x^3` et `g(x)=2*x+1`, quelle est la dérivée de `f(x)/g(x)` ?
Appliquer la règle du quotient: [(f(x)/g(x))]’ = [g(x) * f'(x) – f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2.
#5. Donnez un exemple d’une fonction convexe.
La parabole définie par `f(x) = x^2` est un exemple de fonction convexe.
#6. Comment déterminer les points où la tangente à la courbe d’une fonction est horizontale ?
Résoudre f'(x)=0 permet de trouver tous les points où la pente de la tangente est nulle.
#7. Pour une fonction linéaire `f(x) = ax + b`, le taux d’accroissement moyen est :
Pour une fonction linéaire, le taux d’accroissement est constant et égal à la pente a.
#8. Qu’est-ce qu’une fonction convexe sur un ensemble E?
Une fonction convexe est une fonction où la « corde » reliant deux points de la courbe passe toujours au-dessus ou sur la courbe. Mathématiquement, pour tous points x et y et un réel t ∈ [0,1], la valeur interpolée f(t*x + (1-t)*y) est toujours inférieure ou égale à l’interpolation des valeurs f(x) et f(y).
#9. Comment la dérivée seconde sur un intervalle peut-elle être utilisée pour déterminer les points d’inflexion d’une fonction ?
Les points d’inflexion sont associés aux changements de convexité. Ils peuvent être trouvés en analysant où la dérivée seconde change de signe (de positif à négatif ou vice versa).
#10. Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables, quelle est la dérivée de leur quotient f(x) / g(x) ?
La règle du quotient stipule que la dérivée d’un quotient est le dénominateur multiplié par la dérivée du numérateur moins le numérateur multiplié par la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
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