Résultats
#1. La dérivabilité implique-t-elle toujours la continuité ?
Si une fonction est dérivable, elle est forcément continue.
#2. Quelle est la limite de `f(x) = ln(x)` en `x -> 0^+` ?
La fonction `ln(x)` tend vers `-oo` quand `x` tend vers `0^+`.
#3. La suite `u_n = (-1)^n` est-elle convergente ?
La suite oscille entre `1` et `-1`, donc elle n’est pas convergente.
#4. Soit `f(x) = x^3 – 3x + 1`. La fonction est-elle continue sur `RR` ?
Les polynômes sont continus sur tout `RR`.
#5. La fonction `g(x) = ln(x)` est-elle définie en `x = -1` ?
`ln(x)` n’est définie que pour `x > 0`.
#6. L’équation `f(x) = k` a toujours une unique solution si `f` est continue sur `[a; b]` et k est compris entre f(a) et f(b).
Il faut également que la fonction soit strictement monotone pour garantir l’unicité.
#7. Si une fonction continue sur `[a; b]` prend des valeurs de signes opposés en `a` et `b`, que peut-on en conclure ?
Par le théorème des valeurs intermédiaires, une solution existe.
#8. La fonction `f(x) = 2x + 3` est-elle dérivable en `x = 0` ?
Les fonctions polynomiales sont dérivables sur tout `RR`.
#9. La fonction `f(x) = x^3` est-elle continue sur tout `RR` ?
Les polynômes sont continus sur tout `RR`.
#10. Si `f` est continue en `x = a`, alors `lim_(x->a) f(x) = ?`
C’est la définition de la continuité.
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