Continuité – Spé Maths – Terminale

Résultats

#1. Quelle est la limite de `f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1)` en `x = 1` ?

Simplification donne `f(x) = x + 1`, donc `f(1) = 2`.

#2. La fonction `f(x) = cos(x)` est-elle continue sur `RR` ?

La fonction cosinus est continue sur tout `RR`.

#3. La fonction partie entière `E(x)` est-elle continue en `x = 2` ?

La fonction partie entière est discontinue en tout entier.

#4. Pour garantir une solution unique à `f(x) = k` sur `[a; b]`, que doit-on vérifier ?

La stricte monotonie et la continuité garantissent une solution unique.

#5. La fonction racine carrée `sqrt(x)` est-elle continue sur `[0, +oo[` ?

`sqrt(x)` est continue sur son domaine de définition `[0, +oo[`.

#6. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’une fonction continue sur `[a; b]` prend toutes les valeurs entre `f(a)` et `f(b)`.

Ce théorème est un fondement des fonctions continues.

#7. Soit `f(x) = x^3 – x`. Cette fonction est-elle strictement monotone sur `RR` ?

La fonction change de sens de variation (examiner `f'(x)`).

#8. La fonction `f(x) = |x|` est-elle dérivable en `x = 0` ?

`|x|` n’est pas dérivable en `0` car la pente change brutalement.

#9. La continuité d’une fonction implique-t-elle sa dérivabilité ?

La continuité n’implique pas toujours la dérivabilité (exemple : `|x|` en `x=0`).

#10. Si une fonction continue sur `[a; b]` prend des valeurs de signes opposés en `a` et `b`, que peut-on en conclure ?

Par le théorème des valeurs intermédiaires, une solution existe.

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