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#1. Quel est le lien entre la dérivée seconde et les points d’inflexion ?
Un point d’inflexion est un point où la courbure de la fonction change, passant de convexité à concavité (ou l’inverse), ce qui entraîne un changement de signe de la dérivée seconde.
#2. Si `f'(x)=2*x` et `g'(x)=cos(x)`, quelle est la dérivée de `f(x) + g(x)` ?
La dérivée de la somme est la somme des dérivées.
#3. Soit `h(x) = sin(2x)`. Quelle est la valeur de `h'(pi/4)` ?
On applique la règle de la chaîne. La dérivée de `sin(u)` est `cos(u)`. La dérivée de `2x` est `2`. Donc, `h'(x) = cos(2x) * 2`. `h'(pi/4) = cos(2 * pi/4) * 2 = cos(pi/2) * 2 = 0 * 2 = 0`
#4. Quelle est l’interprétation géométrique de la dérivée seconde en un point ?
La dérivée seconde mesure la courbure d’une fonction.
#5. Quelle est la dérivée de `f(x) = ln(x)` ?
La dérivée du logarithme naturel est l’inverse de la variable.
#6. Qu’est-ce qu’une fonction concave ?
Une fonction concave présente une courbure vers le bas.
#7. Vrai ou Faux : Une fonction peut être à la fois convexe et concave sur différents intervalles.
Une fonction peut changer de convexité en passant par un point d’inflexion.
#8. Vrai ou Faux: Le taux d’accroissement moyen sur un intervalle [a,c] peut être négatif même si la fonction est croissante.
Si la fonction est croissante sur l’intervalle [a, c] avec a f(a). Par conséquent, le taux d’accroissement moyen `(f(c) – f(a)) / (c – a)` sera toujours positif, car le numérateur et le dénominateur sont positifs.
#9. Quel est l’intérêt de déterminer les points d’inflexion dans l’analyse d’une fonction ?
Les points d’inflexion sont essentiels pour analyser la courbure d’une fonction. Ils fournissent des informations sur la structure générale de la courbe, en particulier sur les zones où la croissance ou la décroissance s’accélère ou ralentit.
#10. Vrai ou Faux : Le taux d’accroissement instantané permet de déterminer la convexité d’une fonction.
La dérivée seconde permet de déterminer la convexité d’une fonction, pas le taux d’accroissement instantané.
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