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#1. Si la dérivée d’une fonction est nulle en un point, que peut-on dire de la tangente à la courbe en ce point ?
Si la dérivée d’une fonction est nulle en un point, cela signifie que la tangente à la courbe en ce point sera horizontale.
#2. Soit `k(x) = e^(3*x^2)`. Quelle est la valeur de `k'(1)` ?
On applique la règle de la chaîne. La dérivée de `e^u` est `e^u`. La dérivée de `3x^2` est `6x`. Donc, `k'(x) = e^(3*x^2) * 6x` * `k'(1) = e^(3*1^2) * 6*1 = e^3 * 6 = 6*e^3`
#3. Donnez un exemple d’une fonction ayant une tangente horizontale en `x = 2`.
La dérivée de `f(x) = x^2 – 4x + 4` est `f'(x) = 2*x – 4` qui s’annule en `x=2` et change de signe.
#4. Comment déterminer les intervalles où une fonction est décroissante ?
Une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative (`f'(x) < 0`).
#5. Quel lien existe-t-il entre la dérivée d’une fonction et la pente de la tangente à sa courbe ?
La valeur de la dérivée en un point donne précisément la pente de la droite tangente à la courbe de la fonction en ce point.
#6. Quelle est la relation entre les extrema locaux et les points critiques d’une fonction ?
Un point critique est un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas. Il peut correspondre à un extremum local, mais aussi à d’autres types de points.
#7. Donnez un exemple d’une fonction avec un point d’inflexion en x = 0.
La dérivée seconde de `f(x)=x^3` est `f^’text()^'(x)=6*x`, qui s’annule en `x=0` et change de signe autour de ce point.
#8. Comment déterminer les points critiques d’une fonction sur un intervalle ?
Les points critiques sont obtenus en résolvant l’équation f'(x) = 0, qui indique où la pente de la fonction est nulle (possible extremum), et en examinant les limites de la fonction aux extrémités de l’intervalle.
#9. Quelle information la dérivée seconde d’une fonction nous fournit-elle ?
La dérivée seconde indique si une fonction est convexe ou concave.
#10. Quelle est la définition d’une tangente à une courbe en un point ?
Une tangente à une courbe est définie comme une droite qui touche la courbe en un seul point et qui a la même pente que la courbe en ce point.
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