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#1. Vrai ou Faux: La dérivée d’une fonction peut changer de signe sur un intervalle.
Vrai. La dérivée d’une fonction peut passer d’un signe positif à négatif, ou vice versa, sur un même intervalle. Cela indique un changement dans la pente de la fonction et donc une possible inflexion.
#2. Comment déterminer la convexité d’une fonction à partir de sa dérivée seconde ?
La dérivée seconde détermine la convexité de la courbe représentative de la fonction.
#3. Donnez un exemple de fonction qui est strictement croissante sur l’intervalle `]0, +oo[`
La dérivée de `ln(x)` est `1/x`, qui est positive sur `]0, +oo[`.
#4. Si `f^’text()^'(x) > 0` sur un intervalle, que peut-on dire de la fonction f sur cet intervalle ?
Une dérivée seconde positive indique une fonction convexe c’est à dire un graphe courbé vers le haut.
#5. Vrai ou Faux : Si une fonction a une dérivée seconde nulle sur un intervalle, alors la fonction est linéaire sur cet intervalle.
Si `f^’text()^'(x) = 0` sur un intervalle, alors `f'(x) = k` (une constante) donc `f(x) = k*x + c` (équation d’une droite).
#6. Comment déterminer les points où la tangente à la courbe d’une fonction est horizontale ?
Résoudre f'(x)=0 permet de trouver tous les points où la pente de la tangente est nulle.
#7. Quelle est la formule pour calculer la dérivée d’une fonction composée `f(g(x))` ?
La formule de dérivation d’une fonction composée est `f'(g(x)) * g'(x)`. Elle s’appelle la règle de la chaîne.
#8. Quelle est la dérivée de f(x) = sin(x) ?
La dérivée du sinus est le cosinus.
#9. Donnez un exemple d’une fonction avec un point d’inflexion en x = 0.
La dérivée seconde de `f(x)=x^3` est `f^’text()^'(x)=6*x`, qui s’annule en `x=0` et change de signe autour de ce point.
#10. Quelle est la dérivée de `f(x) = ln(x)` ?
La dérivée du logarithme naturel est l’inverse de la variable.
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