Suites Numériques – Spé Math – Terminale – Niveau 2

Elle tend vers moins l’infini car étant décroissante, elle « descend » sans borne inférieure. La réponse D est fausse car, étant décroissante, elle est majorée par son premier terme.

Si une suite croissante est non bornée, elle diverge vers plus l’infini. Exemple : La suite `U_n = n` diverge vers l’infini.

Une suite convergente approche une limite finie, donc ses termes restent dans un intervalle borné. Autrement dit, elle ne peut pas devenir infiniment grande, elle est donc bornée.

Si les termes de la suite​ appartiennent à l’intervalle [a,b] à partir d’un certain rang, cela signifie que, au-delà de ce rang, tous les termes sont compris entre a et b. Avant ce rang, certains termes peuvent dépasser b.

Une suite alternée n’est pas forcément bornée (Ex: `(-2)^n` est non bornée) ni forcément divergente (Ex: `(-1/2)^2` converge vers 0). Elle n’est jamais monotone car elle alterne entre positif et négatif, ce qui en fait nécessairement une suite non monotone.

Le théorème de convergence monotone s’applique aux suites de nombres réels, car il se base sur les propriétés des réels (majoration et minoration).

Une suite croissante est toujours minorée, car elle possède un premier terme qui peut servir de minorant.

Une suite décroissante est toujours majorée, car son premier terme peut servir de majorant.

La limite L ne peut pas dépasser un majorant M de la suite. On applique le théorème de comparaison à `U_n<=V_n`, avec `V_n=M` (suite constante), on obtient `L<=M`.

La suite de Fibonacci admet une formule explicite appelée formule de Binet : `Un=(varphi^n – (-varphi)^(-n))/(√5)`, où `varphi=(1+√5)/2` est le nombre d’or. Cette formule permet de calculer directement le n-ième terme sans utiliser la relation de récurrence.